Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: er hat eine Richtung und eine Länge. Im Gegensatz zu einem Punkt ist ein Vektor nicht an einen festen Ort gebunden – man darf ihn beliebig parallel verschieben.
\[ \vec{a} = \matvec{a_1 \\ a_2 \\ a_3} \quad\text{(3D)} \qquad \vec{a} = \matvec{a_1 \\ a_2} \quad\text{(2D)} \]Punkt vs. Vektor: Ein Punkt $A(1\,|\,0\,|\,-2)$ ist ein Ort. Ein Vektor $\vec{a}$ ist eine Bewegung von irgendwo nach irgendwo. Der Ortsvektor eines Punktes $A$ zeigt vom Ursprung $O$ zum Punkt $A$ und hat dieselben Zahlen wie die Koordinaten von $A$.
Das ist der mit Abstand wichtigste Grundschritt – fast jede Aufgabe beginnt damit.
Merkhilfe: „Spitze minus Schaft“ – Zielpunkt minus Startpunkt.
$A(1\,|\,0\,|\,-2)$, $B(3\,|\,6\,|\,4)$:
\[ \vec{AB} = B - A = \matvec{3-1 \\ 6-0 \\ 4-(-2)} = \matvec{2 \\ 6 \\ 6} \]Ein Vektor hat Richtung und Länge – er besteht aus Komponenten. Der Betrag $|\vec{a}|$ ist nur eine einzelne Zahl (die Länge), ohne Richtung. Vektor = Pfeil, Betrag = Länge dieses Pfeils.
Der Vektor zeigt in eine bestimmte Richtung und hat die Länge $5$.
Beim Multiplizieren mit $k$ wird der Vektor gestreckt/gestaucht; ist $k<0$, kehrt sich zusätzlich die Richtung um.
Wichtig: jede Koordinate einzeln mitteln – $x$ und $y$ (und $z$).
$B(3\,|\,-2)$, $C(-2\,|\,3)$:
\[ M = \matvec{\tfrac{3+(-2)}{2} \\ \tfrac{-2+3}{2}} = \matvec{0{,}5 \\ 0{,}5} \]Zwei Vektoren sind kollinear (parallel), wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist:
\[ \vec{AC} = k \cdot \vec{AB} \qquad \text{für ein } k \in \R \]Anschaulich: Sie zeigen in dieselbe oder genau entgegengesetzte Richtung.
Typische Anwendung: Prüfen, ob drei Punkte $A$, $B$, $C$ auf einer Geraden liegen – bzw. ob sie ein Dreieck bilden.
$A(1\,|\,0\,|\,-2)$, $B(3\,|\,6\,|\,4)$, $C(-2\,|\,-9\,|\,-11)$.
1. Zwei Richtungsvektoren vom selben Punkt aus:
\[ \vec{AB} = \matvec{2 \\ 6 \\ 6}, \qquad \vec{AC} = \matvec{-3 \\ -9 \\ -9} \]2. Prüfen, ob $\vec{AC} = k\cdot\vec{AB}$:
\[ k = \tfrac{-3}{2}\;(\text{1. Komp.}),\quad k = \tfrac{-9}{6}=-\tfrac{3}{2}\;(\checkmark),\quad k = \tfrac{-9}{6}=-\tfrac{3}{2}\;(\checkmark) \]In allen Komponenten dasselbe $k=-\tfrac{3}{2}$ $\Rightarrow$ kollinear $\Rightarrow$ kein Dreieck.
Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren eine Zahl (kein Vektor!) zu. Es gibt zwei Darstellungen:
\[ \textbf{algebraisch:}\quad \vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \] \[ \textbf{geometrisch:}\quad \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(\varphi) \]$\varphi$ ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren.
Denn bei $90^\circ$ ist $\cos(90^\circ)=0$.
Skalarprodukt aus Punkten: Du brauchst zuerst Vektoren. Aus Punkten $A$, $B$, $C$ bildest du z. B. $\vec{AB}=B-A$ und $\vec{AC}=C-A$ und rechnest erst dann das Skalarprodukt.
Für welches $z$ schliessen $\vec{a}=\matvec{1\\0\\z}$ und $\vec{b}=\matvec{0\\1\\z}$ einen Winkel von $60^\circ$ ein?
1. Skalarprodukt: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\cdot0 + 0\cdot1 + z\cdot z = z^2$
2. Beträge: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{1+z^2}$, also $|\vec{a}|\cdot|\vec{b}| = \sqrt{1+z^2}\cdot\sqrt{1+z^2} = 1+z^2$ (Wurzel mal sich selbst: $\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x$)
3. Einsetzen mit $\cos(60^\circ)=\tfrac12$:
\[ \frac{1}{2} = \frac{z^2}{1+z^2} \]4. Auflösen (über Kreuz multiplizieren):
\[ 1+z^2 = 2z^2 \;\Rightarrow\; z^2 = 1 \;\Rightarrow\; \boxed{z = \pm 1} \]Kontrolle mit $z=1$: $\vec{a}\cdot\vec{b}=1$, beide Beträge $\sqrt2$, also $\cos\varphi=\tfrac12 \Rightarrow 60^\circ$. ✓
Richtungsvektor ablesen: In der Parameterform ist es genau der Vektor, der mit dem Parameter multipliziert wird.
Gerade durch zwei Punkte $A$, $B$: $\vec{a}=A$ als Stützvektor, $\vec{d}=\vec{AB}=B-A$ als Richtungsvektor.
Setze den Punkt $P$ in die Geradengleichung ein und prüfe, ob es ein konsistentes $t$ gibt (ein Gleichungssystem – eine Gleichung pro Koordinate). Liefern alle Zeilen dasselbe $t$, liegt $P$ auf der Geraden.
$g:\ \vec{r}=\matvec{1\\2\\3}+t\matvec{2\\1\\-1}$, $P(5\,|\,4\,|\,1)$:
\[ \begin{aligned} 5 &= 1+2t &&\Rightarrow t=2\\ 4 &= 2+1t &&\Rightarrow t=2 \;\checkmark\\ 1 &= 3-1t &&\Rightarrow t=2 \;\checkmark \end{aligned} \]Alle gleich $\Rightarrow$ $P$ liegt auf $g$. (Käme einmal ein anderes $t$ heraus, läge $P$ nicht auf $g$.)
Der Winkel zwischen zwei Geraden ergibt sich aus ihren Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$.
Der Betrag im Zähler ist entscheidend – so erhältst du immer den spitzen Winkel ($0^\circ\le\alpha\le90^\circ$) zwischen den Geraden.
$g:\ \matvec{0\\-3}+s\matvec{3\\5}$, $h:\ \matvec{9\\4}+t\matvec{-1\\1}$.
Richtungsvektoren: $\vec{u}=\matvec{3\\5}$, $\vec{v}=\matvec{-1\\1}$.
\[ \vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot(-1)+5\cdot1 = 2,\qquad |\vec{u}|=\sqrt{34},\ |\vec{v}|=\sqrt{2} \] \[ \alpha = \arccos\!\left(\frac{|2|}{\sqrt{34}\cdot\sqrt2}\right) = \arccos\!\left(\frac{2}{\sqrt{68}}\right) \approx 76^\circ \]Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden steht – den Normalvektor.
\[ \vec{a}\times\vec{b} = \matvec{a_1\\a_2\\a_3}\times\matvec{b_1\\b_2\\b_3} = \matvec{a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1} \]Für jede Zeile die eigene Zeile „abdecken“ und über Kreuz multiplizieren:
\[ \begin{aligned} n_1 &= a_2 b_3 - a_3 b_2\\ n_2 &= a_3 b_1 - a_1 b_3 \quad(\text{Achtung: „verkehrte“ Reihenfolge!})\\ n_3 &= a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{aligned} \]Ergebnis $\vec{0}$ – die Vektoren sind kollinear (vgl. Kollinearitäts-Kapitel).
Es gibt drei gleichwertige Arten, eine Ebene $E$ zu beschreiben.
$\vec{a}$ = Stützvektor (ein Punkt der Ebene); $\vec{u},\vec{v}$ = zwei nicht kollineare Spannvektoren, die in der Ebene liegen.
Ebene durch drei Punkte $A,B,C$: $\vec{a}=A$, $\vec{u}=\vec{AB}$, $\vec{v}=\vec{AC}$.
$\vec{n}$ = Normalvektor (steht senkrecht auf der Ebene), $\vec{a}$ = Stützvektor. Idee: Jeder Verbindungsvektor $\vec{r}-\vec{a}$ innerhalb der Ebene steht senkrecht auf $\vec{n}$, das Skalarprodukt ist also $0$.
Die Koeffizienten $n_1,n_2,n_3$ sind genau die Komponenten des Normalvektors. $d$ erhältst du, indem du einen bekannten Punkt der Ebene einsetzt.
$A(1\,|\,0\,|\,0)$, $B(0\,|\,2\,|\,0)$, $C(0\,|\,0\,|\,3)$.
1. Spannvektoren:
\[ \vec{u}=\vec{AB}=\matvec{-1\\2\\0},\qquad \vec{v}=\vec{AC}=\matvec{-1\\0\\3} \]2. Normalvektor:
\[ \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v} =\matvec{2\cdot3-0\cdot0\\ 0\cdot(-1)-(-1)\cdot3\\ (-1)\cdot0-2\cdot(-1)} =\matvec{6\\3\\2} \]3. Koordinatenform: $6x+3y+2z=d$. Punkt $A(1|0|0)$ einsetzen:
\[ 6\cdot1+3\cdot0+2\cdot0 = 6 \;\Rightarrow\; d=6 \] \[ \boxed{E:\ 6x+3y+2z = 6} \]Probe mit $C(0|0|3)$: $6\cdot0+3\cdot0+2\cdot3 = 6$ ✓
Normalvektor ablesen ($\vec{n} = (n_1,n_2,n_3)$), drei Punkte der Ebene finden (z. B. Achsenschnittpunkte), daraus Stütz- und Spannvektoren bilden.